cho hình vuông ABCD điểm M nằm trên đường chéo AC . gọi E,F theo thu tự là hình chiếu vuông góc của M trên AD và CD. a)Chứng minh rằng:tứ giác EMFD là hình chữ nhật
b)Tìm vị trí của điểm M trên AC để DM vuông góc với EF
c)chứng minh : các đường thẳng BM,AF,CE đồng quy
Gọi giao điểm của EM với BC là N.
Ta có: ˆMEB+ˆMBE=ˆBMNMEB^+MBE^=BMN^.
Mà ΔBMN=ΔFED(c.g.c)ΔBMN=ΔFED(c.g.c).
⇒ˆBMN=ˆFED⇒ˆMBE+ˆMEB=ˆFED⇒BM⊥EF(dpcm).⇒BMN^=FED^⇒MBE^+MEB^=FED^⇒BM⊥EF(dpcm)..
Cho hình chữ nhật ABCD. O là giao điểm hai đường chéo và một điểm P bất kì trên đường chéo BD (P nằm giữa O và D). Gọi M là điểm đối xứng của C qua P. a) Chứng minh tứ giác AMDB là hình thang. Xác định vị trí của P trên BD để AMDB là hình thang cân. b) Kẻ ME vuông góc AD, MF vuông góc BA. Chứng minh EF // AC và 3 điểm E, F, P thẳng hàng. c) Xác định vị trí P trên BD để tứ giác nối 4 điểm A, M, D, B là hình thang cân. d) Nếu hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC. Gọi K là điểm trên AB sao cho góc ADK = $15^o$. Chứng minh tam giác CDK cân.
Cho hình vuông ABCD . Điểm M nằm trên đường chéo AC. Gọi E,F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AD, CD. Chứng minh rằng:
a.BM vuông góc với EF
b, Các đường thẳng BM, AF, CE đồng quy.
a: Gọi giao của BM với EF là I, FM và AB là K
Vì ΔADF=ΔBAE(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
nên góc DAF=góc ABE
=>góc ABE+góc BAF=góc DAF+góc BAF
=>góc ABE+góc BAF=90 độ
=>AF vuông góc với EB
b: Vì ABCD là hình vuông
nên AC là phân giác của góc BAD
Xét tứ giác AKME có
AK//ME
MK//AE
AM là phân giác của góc KAE
góc KAE=90 độ
Do đó: AKME là hình vuông
=>MK=ME và KB=MF
=>ΔKMB=ΔMEF
=>góc MFE=góc KBM
mà góc KMB=góc IMF
nên góc MFE+góc IMF=góc KBM+góc KMB=90 độ
=>BM vuông góc với EF
c: Xét ΔBEF có
BM,AF là các đường cao
nên BM cắt AF tại trực tâm của tam giác
=>M là trực tâm
=>BM,AF,CE đồng quy
2. Xét hình chữ nhậtABCD và 1 điểm P bất kì trên đường chéo BD. Gọi M là điểm đối xứng của C qua P
a, Chứng minh tứ giác AMDB là hình thang. Xác định vị trí của điểm P để tứ giác AMDB là hình thang cân.
b, Gọi E,F theo thứ tự là hình chiếu của M trên các đường thẳng AD và AB
Chứng minh EF // AC và E, F, P thẳng hàng
c, Chứng minh tỉ số các cạnh của HCN MEAF không phụ thuộc vào vị trí của P
d, Giả sử CP vuông góc vs BD. Tính các cạnh của HCM ABCD biết CP= 2,4 cm và PD/PB=9/16
2. Xét hình chữ nhậtABCD và 1 điểm P bất kì trên đường chéo BD. Gọi M là điểm đối xứng của C qua P
a, Chứng minh tứ giác AMDB là hình thang. Xác định vị trí của điểm P để tứ giác AMDB là hình thang cân.
b, Gọi E,F theo thứ tự là hình chiếu của M trên các đường thẳng AD và AB
Chứng minh EF // AC và E, F, P thẳng hàng
c, Chứng minh tỉ số các cạnh của HCN MEAF không phụ thuộc vào vị trí của P
d, Giả sử CP vuông góc vs BD. Tính các cạnh của HCM ABCD biết CP= 2,4 cm và PD/PB=9/16
Cho hình vuông ABCD. M là điểm chuyển động trên đường chéo AC. E,F lần lượt là hình chiếu của M trên cạnh AB, AD.
a) Chứng minh chu vi tứ giác AEMF không đổi.
b)Đường thẳng qua M vuông góc với EF đi qua 1 điểm cố định.
c) Xác định vị trí điểm M để AE.AF đạt giá trị lớn nhất.
cho hình vuông ABCD tâm O . Lấy Q là điểm bất kì trên đường chéo BD ( Q khác B và D). Gọi E,F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của Q trên AB , AD
a) Chứng minh tứ giác AEQF là hình chữ nhật
b) chứng minh EF = QC
c) gọi M,K theo thứ tự là trung điểm của AB , OD . Tính góc MKC
cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên đường chéo AC. Gọi E, F theo thứ tự là các hình chiếu của M trên AD, CD. CMR :
a) BM vuông góc với EF
b) Các đường thẳng BM, AF, CE đồng qui
Gọi giao điểm của MB và EF là I; giao điểm của MF và AB là K.
Do ABCD là hình vuông nên AC là phân giác góc BAD. Vì thế hình chữ nhật AKME cũng là hình vuông. Từ đó suy ra MK = ME và KB = MF.
Vậy thì \(\Delta KMB=\Delta MEF\) (hai cạnh góc vuông)
Từ đó \(\widehat{MFE}=\widehat{KBM}.\)
Lại có \(\widehat{KMB}=\widehat{IMF}\) (đối đỉnh)
Vậy nên \(\widehat{IMF}+\widehat{MFI}=\widehat{KMB}+\widehat{KBM}=90^0\). hay \(\widehat{MIF}=90^0\Rightarrow MB\perp EF.\)
b. Ta chứng minh \(AF\perp EB.\) Thật vậy \(\Delta ADF=\Delta BAE\) (Hai cạnh góc vuông)
nên \(\widehat{DAF}=\widehat{ABE}\Rightarrow\widehat{ABE}+\widehat{BAF}=\widehat{DAF}+\widehat{BAF}=90^0\)
Vậy \(AF\perp EB.\). Tương tự \(EC\perp BF.\)
Xét tam giác EBF có BM; AF; CE trùng các đường cao nên chúng đồng quy.
cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên đường chéo AC. Gọi E, F theo thứ tự là các hình chiếu của M trên AD, CD. CMR :
a) BM vuông góc với EF
b) Các đường thẳng BM, AF, CE đồng qui
a: Gọi giao của BM với EF là I, FM và AB là K
Vì ΔADF=ΔBAE(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
nên góc DAF=góc ABE
=>góc ABE+góc BAF=góc DAF+góc BAF
=>góc ABE+góc BAF=90 độ
=>AF vuông góc với EB
b: Vì ABCD là hình vuông
nên AC là phân giác của góc BAD
Xét tứ giác AKME có
AK//ME
MK//AE
AM là phân giác của góc KAE
góc KAE=90 độ
Do đó: AKME là hình vuông
=>MK=ME và KB=MF
=>ΔKMB=ΔMEF
=>góc MFE=góc KBM
mà góc KMB=góc IMF
nên góc MFE+góc IMF=góc KBM+góc KMB=90 độ
=>BM vuông góc với EF
c: Xét ΔBEF có
BM,AF là các đường cao
nên BM cắt AF tại trực tâm của tam giác
=>M là trực tâm
=>BM,AF,CE đồng quy
